流体 vs 固体 vs 气体 vs 液体#

• 流体区别于固体的主要特性：易于流动
• 运动流体具有抵抗剪切变形的能力（体现在限制剪切变形速率而非大小上）——这就是粘滞性

牛顿内摩擦定律#

运动流体具有抵抗剪切变形的能力——粘滞性。抵抗体现在剪切变形的速率上。

在剪切变形中，流体内部出现成对的切应力τ（内摩擦力），抵抗相邻两层流体之间的相对运动。

牛顿内摩擦定律：对于牛顿流体，切应力τ与剪切（角）变形速率 du/dy 之间存在正比例关系：

$\tau = \mu \frac{du}{dy}$

• μ为动力粘性系数（单位：N·s/m² = Pa·s）
• ν = μ/ρ 为运动粘性系数（单位：m²/s）

牛顿流体 vs 非牛顿流体#

• 满足牛顿内摩擦定律 → 牛顿流体（水、空气、石油等）
• 不满足 → 非牛顿流体（沥青等）

粘性系数的温度特性#

理想流体假设#

忽略粘性影响的假设，切应力τ=0。可大大简化理论分析。

质量力#

• 分布在流体质量（体积）上，是远程力
• 力的质量密度 f：单位质量流体承受的质量力（加速度单位）
• 定义：f = lim(ΔV→0) ΔF/Δm

表面力#

• 分布在流体面上，是接触力
• 应力 p_n：单位面积上承受的表面力
• 定义：p_n = lim(ΔA→0) ΔP/ΔA
• 应力可分解为：法应力（压强）和切应力
• 应力四要素：作用点、作用面方位、受力侧、应力方向分量

两个特性#

1. 方向：静压强的方向始终垂直指向作用面（内法线方向，流体不能受拉）
2. 大小：静压强的大小与作用面的方位无关，仅取决于作用点的空间位置

静止流体中一点的应力状态只用一个静压强数量场 p = p(x,y,z) 来描述

证明（四面体微元法）#

在静止流体中取四面体微元，受力平衡，当微元趋于O点时，质量力相比压力为高阶无穷小，得 p_n = p_x = p_y = p_z

推导#

取六面体流体微元，在x方向受力平衡：

$\frac{\partial p}{\partial x} = \rho X, \quad \frac{\partial p}{\partial y} = \rho Y, \quad \frac{\partial p}{\partial z} = \rho Z$

矢量形式#

$\nabla p = \rho \mathbf{f}$

其中 ∇p 为压强梯度，f = (X,Y,Z) 为单位质量力。

综合形式#

$dp = \rho (Xdx + Ydy + Zdz)$

物理意义#

• 流体平衡时，质量力与压差力平衡
• 对可压缩和不可压缩流体均适用

等压面#

• 定义：压强相等的点组成的平面或曲面
• 等压面恒与质量力正交
• 质量力只有重力时，等压面近似为与地球同心的球面（海平面是等压面）

基本方程#

z轴铅垂向上，质量力只有重力（X=0, Y=0, Z=-g）：

$z + \frac{p}{\gamma} = \text{常数}$

静压强分布规律#

$p = p_0 + \gamma h$

其中 h 为水深（从自由面向下），γ = ρg 为重度。

三个压强的概念#

关系：p_abs = p_a + p（相对压强）

水头概念#

• 位置水头 z：单位重量流体具有的位能
• 压强水头 p/γ：单位重量流体具有的压能
• 测压管水头 z + p/γ：静止相连通的均质液体中，任意点的测压管水头高度相同

比压计（压差计）公式（老师强调必背）#

U型管比压计：两点测压管水头之差

$\frac{p_A}{\gamma} - \frac{p_B}{\gamma} = \left(\frac{\gamma_{Hg}}{\gamma} - 1\right) \Delta h$

水银重度是水的13.6倍，所以：

$\frac{p_A}{\gamma} - \frac{p_B}{\gamma} = 12.6 \Delta h_{Hg}$

这个公式考试经常作为选择题出现，一定要记住！

压力图法（矩形平面）#

• 静压分布图中线矢长短表示压强大小
• 总压力 = 压力分布图面积 × 受压平面宽度 = 静压分布体总体积
• 压力中心 = 静压分布体的重心
• 三角形压力分布：压力中心距底部 1/3 处

解析法（任意平面）#

• 总压力大小：P = γ·h_c·A（h_c为形心浸深）
• 压力中心：y_D = y_c + I_c/(y_c·A)
  • I_c为平面图形对形心轴的惯性矩

水平分量#

$P_x = \gamma \cdot h_{xC} \cdot A_x$

A_x 为曲面在 yoz 平面的投影面，h_xC 为 A_x 形心浸深。

垂向分量#

$P_z = \gamma \cdot V_p$

V_p 为压力体体积（曲面A与投影面A_z之间的柱体体积）。

压力体是从积分计算得到的体积，与内部是否有液体无关！

压力体绘制#

• 由曲面A向上一直画到液面所在平面
• 复杂柱面：分段计算压力体再叠加

阿基米德浮力定律#

物体受到的浮力 = 排开液体的重量，可用压力体从静力学严格推导。

拉格朗日法（质点系法）#

• 跟踪每个流体质点，描述其运动历程
• 质点位移：r = r(a,b,c,t)，(a,b,c)为拉格朗日变数（质点标签）
• 适用于特定流动，但使用不便

欧拉法（流场法）——常用#

• 研究流场中各空间点上运动要素的变化
• 速度场：u = u(x,y,z,t)
• 为场论数学工具的应用创造了条件

欧拉法是最常用的方法，我们以后的物理量都是指空间点的物理量。

恒定流 vs 非恒定流#

• 恒定流：所有运动要素不随时间变化，∂/∂t = 0
  • 时变加速度为零，位变加速度可不零
• 非恒定流：运动要素随时间变化

迹线 vs 流线#

流管、流束、总流#

• 流管：流线围成的管状面，流体不能穿越流管壁
• 过流断面：与流线正交的断面
• 元流：过流断面无限小的流束
• 总流：无数元流的总和

均匀流 vs 非均匀流#

• 均匀流：流线为平行直线，位变加速度为零
• 渐变流：流线近似平行，过流断面可视为平面
• 急变流：流线弯曲剧烈

能量方程和动量方程要求过流断面必须是渐变流断面！

三维微分形式#

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho u_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z} = 0$

不可压缩流体#

$\frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0$

恒定总流连续性方程#

$Q = v_1 A_1 = v_2 A_2$

分流时：流入流量 = 流出流量之和，即 Q₁ = Q₂ + Q₃

理想流体元流能量方程（伯努利方程）#

$z + \frac{p}{\gamma} + \frac{u^2}{2g} = \text{常数（沿同一条流线）}$

实际流体恒定总流能量方程#

$z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{\alpha_1 v_1^2}{2g} = z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{\alpha_2 v_2^2}{2g} + h_w$

• z：位置水头（单位位能）
• p/γ：压强水头（单位压能）
• αv²/2g：流速水头（单位动能），α为动能修正系数
• h_w：水头损失（单位能量损失）

动能修正系数 α#

• 层流：α = 2
• 湍流：α ≈ 1.05~1.08，工程中常取 α ≈ 1.0

有能量输入/输出的能量方程#

$z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{\alpha_1 v_1^2}{2g} \pm H = z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{\alpha_2 v_2^2}{2g} + h_w$

• +H：有能量输入（如水泵）
• -H：有能量输出（如水轮机）

老师强调：注意能量方程在分流时的表达形式，与推导公式有差异，关键是理解物理意义！

能量方程应用条件#

1. 恒定流，流体不可压缩
2. 质量力只有重力
3. 过流断面必须取在渐变流段
4. 对于液体通常用相对压强；对于气体（如烟囱）用绝对压强

总水头线与测压管水头线#

• 总水头线：z + p/γ + αv²/2g，总是沿程下降（有能量损失）
• 测压管水头线：z + p/γ，可升可降
• 总水头线在测压管水头线之上，两者之差为流速水头

恒定总流动量方程（矢量方程）#

$\sum \mathbf{F} = \rho Q (\beta_2 \mathbf{v}_2 - \beta_1 \mathbf{v}_1)$

• β：动量修正系数（层流β=1.33，湍流β≈1.02~1.05，工程中常取β≈1.0）
• 物理意义：单位时间净流出控制体的动量 = 控制体内流体所受合力

动量方程解题步骤#

1. 选控制体（取渐变流断面）
2. 分析控制体内流体所受全部外力
3. 选择合适的投影坐标系
4. 列动量方程投影式（X、Y、Z方向分别列）
5. 结合连续性方程和能量方程联立求解

分流时：动量方程流出有两项，流入是一项，形式与直接推导有差异，要注意！

原理#

利用总压管（测总压）和静压管（测静压）的组合：

$u = \sqrt{2g \Delta h}$

其中 Δh 为总压管与静压管的液面差。

实际流速需乘以修正系数：$u = \varphi \sqrt{2g \Delta h}$

原理#

利用收缩段和扩散段之间测压管水头差：

理论流量：$Q_{th} = \frac{A_1 A_2}{\sqrt{A_1^2 - A_2^2}} \sqrt{2g \Delta h}$

实际流量：$Q = \mu Q_{th}$

• 流量系数 μ = 0.95~0.99
• 文丘里管可以斜置但不能装反（扩散段能量损失大）

孔板流量计#

原理与文丘里管完全相同，只是结构更简单。

基本概念#

• 量纲：物理量的类别，是质的特征（区别于单位——量的特征）
• 基本量纲（流体力学中）：长度L、时间T、质量M
• 导出量纲：由基本量纲组合
• 无量纲量：所有量纲指数为零（如雷诺数、弗劳德数）

量纲一致性原理#

任何反映客观物理规律的方程，其各项的量纲指数都相同。

π定理#

一个物理过程涉及 n 个物理量，其中 m 个量纲独立，则可组成 n-m 个无量纲量 π₁, π₂, …, π_{n-m}，物理过程可表示为：

$F(\pi_1, \pi_2, ..., \pi_{n-m}) = 0$

量纲分析步骤#

1. 假定未知函数关系（待定物理方程）
2. 变物理方程为量纲方程
3. 利用量纲一致性原理解量纲方程

流动相似三个层次#

相似准则#

实验内容#

1883年，雷诺通过实验发现流体存在两种流态：

雷诺数#

$Re = \frac{vd}{\nu}$

• 表征惯性力与粘性力之比
• 圆管下临界雷诺数：Re_c = 2300（小于此值必为层流）
• 上临界雷诺数不确定，跨越较大范围

雷诺实验的物理意义（填空题考点）#

揭示了流体存在两种流态（层流和湍流）及其沿程水头损失的规律（流态不同，损失规律不同）

非圆管雷诺数#

用水力半径 R 代替管径 d： $R = \frac{A}{\chi}$ 其中 A 为过流断面面积，χ 为湿周。圆管 R = d/4。

沿程水头损失与切应力的关系#

$h_f = \frac{\tau_0 l}{\gamma R}$

切应力分布规律：线性分布，管壁处最大，管轴线处为零。

流速分布#

$u = \frac{\gamma J}{4\mu}(r_0^2 - r^2)$

旋转抛物面分布。最大流速在管轴：u_max = γJr₀²/(4μ)

平均流速：v = u_max / 2

沿程水头损失#

$h_f = \frac{64}{Re} \cdot \frac{l}{d} \cdot \frac{v^2}{2g}$

即层流时：λ = 64/Re

层流流速分布很不均匀，α=2，β=1.33，不能用α≈β≈1！

时均法#

• 瞬时量 = 时均量 + 脉动量：u = ū + u’
• 脉动量的时均值为零
• 脉动强度用均方根表示

湍流附加应力（雷诺应力）#

脉动流速产生的附加切应力，无法用解析法确定，只能基于实验经验方法。

湍流近壁特征#

• 紧贴壁面的粘性底层（层流底层）——即使湍流中也必然存在
• 粘性底层厚度：δ_l ≈ 32.8d/(Re√λ)

实验内容#

1933年，尼古拉兹对人工砂粒粗糙圆管进行系列实验，得到：

沿程阻力系数 λ 与雷诺数 Re 和相对粗糙度 Δ/d 的关系曲线

尼古拉兹实验的物理意义（填空题考点）#

揭示了沿程阻力系数 λ 与雷诺数 Re 和相对粗糙度 Δ/d 的关系

五个分区#

曼宁公式#

$C = \frac{1}{n} R^{1/6}$

• n 为粗糙系数（糙率），查表获得

突扩圆管#

$\zeta = \left(1 - \frac{A_1}{A_2}\right)^2$

突缩圆管#

$\zeta = 0.5\left(1 - \frac{A_2}{A_1}\right)$

薄壁小孔口自由出流#

$Q = \mu A \sqrt{2gH_0}$

• 流量系数 μ = ε·φ（ε为收缩系数，φ为流速系数）
• 完全收缩薄壁小孔口：ε ≈ 0.630.64，φ ≈ 0.970.98，μ ≈ 0.60~0.62

孔口出流分类#

• 小孔口：H/d > 10
• 大孔口：H/d < 10，流量系数更大（≈0.7）
• 自由出流 vs 淹没出流（淹没出流只需将作用水头改为上下游水位差）

管嘴出流#

• 壁厚达3~4D时为管嘴
• 管嘴出流为满流，收缩系数ε=1
• 流量系数比孔口大（因满流无收缩）

作用水头#

上游总水头与下游测压管水头之差，用于支付出口速度水头和全部水头损失。

$H_0 = \frac{\alpha v^2}{2g} + h_w$

计算三类问题#

1. 计算管道输水能力（求流量Q）
2. 确定作用水头
3. 计算沿程压强分布

虹吸管#

• 利用大气压差工作
• 顶点处为最大真空度（负压最大）
• 需检验最大真空度不超过允许值

气体管路#

• 两端压强差较大时，必须用绝对压强列能量方程
• 压强损失 = 沿程损失 + 局部损失

基本公式#

$H = S l Q^2$

其中 S 为比阻（单位流量通过单位长度管道所需的水头）。

比阻的经验公式#

• 舍维列夫公式：用于旧钢管和旧铸铁管
• 谢才公式+曼宁公式：用于其他材料管道

老师强调：比阻的经验性计算公式不用背，知道公式结构即可。

串联管路#

• 各段流量相同：Q = Q₁ = Q₂ = Q₃
• 总水头损失 = 各段损失之和：H = Σ S_i l_i Q²

并联管路#

• 各段水头损失相同：h_f1 = h_f2 = h_f3
• 总流量 = 各段流量之和：Q = Q₁ + Q₂ + Q₃

离心泵性能参数#

• 流量 Q（m³/s）
• 扬程 H（m H₂O）：水泵提供给液体的单位能量
• 有效功率：N_e = γQH
• 效率 η = N_e / N_x（轴功率）

水泵功率计算#

$N_e = \gamma Q H$

明渠类型#

• 棱柱形明渠：断面形状和尺寸沿程不变
• 非棱柱形明渠：断面形状和尺寸沿程变化

形成条件#

1. 恒定流
2. 正坡渠道（i > 0）
3. 流量 Q 沿程不变
4. 底坡 i 和糙率 n 沿程不变
5. 渠道足够长

基本公式#

$Q = AC\sqrt{Ri} = K\sqrt{i}$

• K 为流量模数：K = AC√R
• 用曼宁公式：C = (1/n)R^{1/6}

正常水深 h₀#

明渠均匀流时，流量确定后必有一个水深与之对应。

水力最优断面#

• 半圆形断面最优
• 梯形断面：宽深比 β = b/h = 2(√(1+m²) - m)

断面单位能量（比能）E_s#

以断面最低点为基准面的单位机械能：

$E_s = h + \frac{\alpha v^2}{2g} = h + \frac{\alpha Q^2}{2gA^2}$

临界水深 h_c#

E_s 取最小值时对应的水深。矩形明渠：

$h_c = \sqrt[3]{\frac{\alpha q^2}{g}}$

其中 q = Q/b 为单宽流量。

对于矩形断面：临界流速水头 = h_c/2，E_s_min = 1.5h_c。这个公式要记住！

临界底坡 i_c#

正常水深 h₀ = 临界水深 h_c 时对应的底坡。

缓流、急流、临界流#

水跃#

在较短渠段内水深从小于临界水深（急流）急剧跃升到大于临界水深（缓流）的局部水力现象。

产生条件：急流 → 缓流过渡（急缓过渡必产生水跃）

水跃基本方程（平坡棱柱体明渠）#

$\theta(h_1) = \theta(h_2)$

其中 θ(h) 为水跃函数。h₁ 和 h₂ 为共轭水深。

矩形明渠共轭水深公式（必背）#

$h_2 = \frac{h_1}{2}\left(\sqrt{1 + 8Fr_1^2} - 1\right)$

$h_1 = \frac{h_2}{2}\left(\sqrt{1 + 8Fr_2^2} - 1\right)$

两者是共轭关系——知道其中一个，另一个就被唯一确定！

水跃能量损失#

水跃消能系数 K_j = ΔE/E₁，纯粹与 Fr₁ 有关。

水跌#

缓流 → 急流过渡，水面在临界水深附近平滑跌落。

五条共性规律#

1. 1区和3区：水深沿程增加（壅水曲线）；2区：水深沿程下降（降水曲线）
2. h→h₀ 时，dh/ds→0，水面以N-N线为渐近线
3. h→h_c 时，dh/ds→∞，水面切线与流向垂直
4. h→∞ 时，dh/ds→i，水面趋于水平
5. 水跃发生在急流到缓流过渡处

12种水面曲线类型#

按底坡分为：缓坡(M)、陡坡(S)、临界坡(C)、平坡(H)、逆坡(A)，各分3个区。

堰 vs 闸孔出流#

按堰壁厚度分类#

若 δ/H > 10，则需要考虑沿程水头损失，不再是堰流。

有淹没出流和侧收缩时#

$Q = \sigma \varepsilon m B \sqrt{2g} H_0^{3/2}$

• σ 为淹没系数
• ε 为侧收缩系数

m₀ 与 m 的区别#

• m₀：包含行进流速影响的流量系数（计算时直接用堰前水头 H）
• m：未包含行进流速影响（计算时需用 H₀ = H + αv₀²/(2g)）

矩形薄壁堰#

$Q = m_0 B \sqrt{2g} H^{3/2}$

流量系数 m₀ 可用巴辛公式或雷保克公式（经验公式）计算。

三角堰（环境工程常用，必记）#

$Q = m_0 \tan\frac{\theta}{2} \sqrt{2g} H^{5/2}$

• 常用 θ = 90°（即 tan(θ/2) = 1）
• 三角堰水面宽度随水头变化，测流更稳定
• 适用于小流量测量
• 流量与水头的 5/2 次方成正比

三角堰公式中流量与 H^{5/2} 成正比（区别于矩形堰的 H^{3/2}），这是因为水面宽度也随 H 成正比变化。